【題目】(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)已知函數(shù),,如果函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、,求證:.(參考數(shù)據(jù):,,,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)構(gòu)造函數(shù),其中,可得,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),構(gòu)造函數(shù),分和兩種情況討論,結(jié)合可求出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)由題意得出,變形得,利用基本不等式得出,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,證明出,結(jié)合單調(diào)性可得出.
(1)令,其中,且有,
,
令,則.
①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,即,
所以,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,合乎題意;
②當(dāng)時(shí),則或.
(i)當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,即,
所以,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,合乎題意;
(ii)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,設(shè),
由韋達(dá)定理得,則必有,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
所以,,不合乎題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是;
(2)若,
則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.
由題意,相加有,①
相減有,從而,
代入①有,
即,
不妨設(shè),則,由(1)有.
又,
所以,即,
設(shè),則,在單調(diào)遞增,
又,
,,因此.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差為
若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
是否存在d,n使成立?若存在,試找出所有滿(mǎn)足條件的d,n的值,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正分割成個(gè)全等的小正三角形(圖1,圖2分別給出了的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)的和為,已知,則(用含的式子表達(dá))__________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線 : ( )的焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) 在拋物線 上,且 ,直線 與拋物線 交于 , 兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線 的方程;
(2)求 的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
與的情況如上:
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時(shí),
由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上的最小值為.
綜上,當(dāng)時(shí),的最小值為;
當(dāng)時(shí),的最小值為;
當(dāng)時(shí),的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若點(diǎn)在上,過(guò)作的兩弦與,若,求證: 直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,為等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若直線與直線的斜率之和為,證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世界衛(wèi)生組織的最新研究報(bào)告顯示,目前中國(guó)近視患者人數(shù)多達(dá)6億,高中生和大學(xué)生的近視率均已超過(guò)七成,為了研究每周累計(jì)戶(hù)外暴露時(shí)間(單位:小時(shí))與近視發(fā)病率的關(guān)系,對(duì)某中學(xué)一年級(jí)200名學(xué)生進(jìn)行不記名問(wèn)卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周累積戶(hù)外暴露時(shí)間(單位:小時(shí)) | 不少于28小時(shí) | ||||
近視人數(shù) | 21 | 39 | 37 | 2 | 1 |
不近視人數(shù) | 3 | 37 | 52 | 5 | 3 |
(1)在每周累計(jì)戶(hù)外暴露時(shí)間不少于28小時(shí)的4名學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名,求其中恰有一名學(xué)生不近視的概率;
(2)若每周累計(jì)戶(hù)外暴露時(shí)間少于14個(gè)小時(shí)被認(rèn)證為“不足夠的戶(hù)外暴露時(shí)間”,根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表,并根據(jù)(2)中的列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為不足夠的戶(hù)外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系?
近視 | 不近視 | |
足夠的戶(hù)外暴露時(shí)間 | ||
不足夠的戶(hù)外暴露時(shí)間 |
附:
P | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn),現(xiàn)選擇15名志愿者,對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量(單位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖,并求得其回歸方程為,以下結(jié)論中不正確的為
A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系,
C. 可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,
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