Question

已知點、為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證:.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）作出解題所需圖形，對照圖形和雙曲線的定義不難解決此問題；（2）按照數(shù)量積的定義即需求模和夾角，這都可以通過解析幾何的工具性知識在形式上得到表示，然后通過設而不求和整體思想得以解決；（3）通過分析可將等式的證明轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系的判定，仍然運用設而不求和整體思想來解決，注意要對直線的斜率是否存在分情況討論，這樣解題才嚴謹.

試題解析：（1）設、的坐標分別為、

因為點在雙曲線上，所以，即，所以

在中，，，所以 2分

由雙曲線的定義可知：

故雙曲線的方程為： 4分

（2）由條件可知：兩條漸近線分別為， 5分

設雙曲線上的點，設的傾斜角為，則

則點到兩條漸近線的距離分別為， 7分

因為在雙曲線上，所以

又，從而

所以 10分

（3）由題意，即證：.

設，切線的方程為：，且 11分

①當時，將切線的方程代入雙曲線中，化簡得：

所以：

又 13分

所以 15分

②當時，易知上述結(jié)論也成立． 所以 16分

綜上，，所以. 18分

（注：用其他方法也相應給分）

考點：1.雙曲線方程與性質(zhì)；2.直線與雙曲線；3.解析幾何中的證明.