Question

3．定義運(yùn)算“*”如下：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，關(guān)于函數(shù)f（x）=sinx*cosx有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）值域?yàn)閇-1，1]；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值；
③f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）＜0．
其中結(jié)論正確的是④．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)f（x）=sinx*cosx=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$ 在一個(gè)周期上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=sinx*cosx
=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$，
表示在sinx 和cosx中取較大的一個(gè)，
f（x）在一個(gè)周期上的圖象如圖所示，
由圖象可得，它的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
它的最小正周期為2π，故①③不正確．
當(dāng)x=2kπ，或 x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，
函數(shù)f（x）取得最大值，故②不正確．
當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）時(shí)，
cosx 和sinx都小于零，故函數(shù)f（x）＜0，故④正確，
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．