Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）（x∈[2，8]，a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 令t=log_ax，則y=f（x）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得0＜a＜1，且log_a8=-3，進(jìn)而得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）=$\frac{1}{2}$（1+log_ax）（2+log_ax）=$\frac{1}{2}$（log_ax）²+$\frac{3}{2}$log_ax+1，
令t=log_ax，則y=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{1}{8}$，當(dāng)t=0或t=-3時，函數(shù)值為1，
當(dāng)x∈[2，8]時，t=log_ax≠0，
故0＜a＜1，且log_a8=-3，
解得：a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．