Question

5．（理科）已知函數(shù)f（x）=-6ln（ax+2）+$\frac{1}{2}$x²在x=2處有極值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線y=kx與函數(shù)f′（x）有交點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，由f′（2）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）因為$f（x）=-6ln（ax+2）+\frac{1}{2}{x^2}$，
所以$f'（x）=-6•\frac{a}{ax+2}+x$
由f′（2）=0，可得 a=2，
經(jīng)檢驗a=2時，函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，
$f（x）=-6ln（2x+2）+\frac{1}{2}{x^2}$，${f^'}（x）=\frac{-6}{x+1}+x=\frac{{{x^2}+x-6}}{x+1}=\frac{（x+3）（x-2）}{x+1}$
而函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由表可知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，2），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
（Ⅱ）若f′（x）=kx，則有x²+x-6=kx²+kx，其中x＞-1，
所以（k-1）x²+（k-1）x+6=0有大于-1的根，
顯然k≠1，設g（x）=（k-1）x²+（k-1）x+6，
則其對稱軸為$x=-\frac{1}{2}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，
只要△=（k-1）²-24（k-1）≥0，
解得：k≥25或k＜1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．