Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₇=16，S₆=33，等比數(shù)列{b_n}滿足${b_1}=\frac{1}{2}$，點(diǎn)（2，b₂），（1，b₃），落在直線x-8y=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的系統(tǒng)公司與求和公式可得a_n．由點(diǎn)（2，b₂），（1，b₃），落在直線x-8y=0上，可得2-8b₂=0，1-8b₃=0，解得b₂，b₃．利用等比數(shù)列的系統(tǒng)公司可得b_n．
（2）a_n+b_n=（3n-5）+$（\frac{1}{2}）^{n}$．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可得：數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₇=16，S₆=33，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+6d=16}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}×d=33}\end{array}\right.$，解得a₁=-2，d=3，
∴a_n=-2+3（n-1）=3n-5．
∵點(diǎn)（2，b₂），（1，b₃），落在直線x-8y=0上，∴2-8b₂=0，1-8b₃=0，解得b₂=$\frac{1}{4}$，b₃=$\frac{1}{8}$．
∴公比q=$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）a_n+b_n=（3n-5）+$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=[-2+1+…+（3n-5）]+$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}]$
=$\frac{n（-2+3n-5）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3{n}^{2}-7n}{2}$+1-$（\frac{1}{2}）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、函數(shù)的性質(zhì)，查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．