Question

【題目】已知正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證；

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角等于60°？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，

又平面平面平面 .易得 丄平面 .（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為

，平面的一個(gè)法向量為 ．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，

因?yàn)?/span>為正三棱柱，所以為正三角形，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以在中，，

在中，，所以，即.

又，

所以丄平面，面，所以.

（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).

取的中點(diǎn)，連接，則丄平面，

所以，

分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，得，

同理，平面的一個(gè)法向量為，

則，取，

∴.

∴，解得，

故存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.