【題目】已知拋物線的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N。

（1）求證：直線MN必過定點；

（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點H的軌跡方程。

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）易知F(1,0).

設，代入，得.

易得，故.

因為CD⊥AB，所以將點M坐標中的k換為，即得.

則，

即.

故不論k為何值，直線MN恒過定點T(3, 0).

（2）由拋物線的性質知，都與拋物線的準線x=-1相切，所以，的半徑分別為.從而，，

.

兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程為.

又，

故公共弦所在直線過原點O.

所以，∠OHT=90°.

于是，點H的軌跡是以OT為直徑的圓(除去直徑的兩個端點)，其軌跡方程為

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：在軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且右焦點坐標為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與圓相切，和橢圓交于，兩點，為原點，線段，分別和圓交于，兩點，設，的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格．A系列的紙張規(guī)格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的紙張長寬比都相同．②在A系列紙中，前一個序號的紙張以兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號大小的紙，比如1張A0紙對裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對裁可以得到2張A2紙，依此類推．這是因為A系列紙張的長寬比為：1這一特殊比例，所以具備這種特性．已知A0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A4紙的長度為（　�。�

A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某超市，隨機調查了100名顧客購物時使用手機支付的情況，得到如下的列聯(lián)表，已知從其中使用手機支付的人群中隨機抽取1人，抽到青年的概率為.

青年

中老年

合計

使用手機支付

60

不使用手機支付

28

合計

100

（1）根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并根據(jù)此資料判斷是否有99.9%的把握認為“超市購物用手機支付與年齡有關”.

（2）現(xiàn)按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”進行分層抽樣，從這100名顧客中抽取容量為5的樣本，求“從樣本中任選3人，則3人中至少2人使用手機支付”的概率.

（其中 ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合S={1,2,3,4,5,6}，一一映射f:S→S滿足條件：對于任意的x∈S，有f(f(f(x)))=x。則滿足條件的映射f的個數(shù)是( )。

A. 81 B. 80 C. 40 D. 27

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P—A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．

(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設A，B，C，D為平面內的四點，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．

（1）若，求D點的坐標；

（2）設向量，，若k–與+3平行，求實數(shù) 的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎券2張，每張可獲價值50元的獎品；有二等獎券2張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：

（1）該顧客中獎的概率；

（2）該顧客獲得的獎品總價值X元的概率分布列.

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