Question

6．某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了某種高新科技產(chǎn)品，現(xiàn)已進(jìn)入實(shí)驗(yàn)階段．已知實(shí)驗(yàn)的啟動(dòng)資金為10萬元，從實(shí)驗(yàn)的第一天起連續(xù)實(shí)驗(yàn)，第x天的實(shí)驗(yàn)需投入實(shí)驗(yàn)費(fèi)用為（px+280）元（x∈N^*），實(shí)驗(yàn)30天共投入實(shí)驗(yàn)費(fèi)用17700元．
（1）求p的值及平均每天耗資最少時(shí)實(shí)驗(yàn)的天數(shù)；
（2）現(xiàn)有某知名企業(yè)對該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行贊助，實(shí)驗(yàn)x天共贊助（-qx²+50000）元（q＞0）．為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，至少需進(jìn)行50天實(shí)驗(yàn)，若要求在平均每天實(shí)際耗資最小時(shí)結(jié)束實(shí)驗(yàn)，求q的取值范圍．（實(shí)際耗資=啟動(dòng)資金+試驗(yàn)費(fèi)用-贊助費(fèi)）

Answer 1

分析 （1））依題意得，試驗(yàn)開始后，每天的試驗(yàn)費(fèi)用構(gòu)成等差數(shù)列，公差為p，首項(xiàng)為p+280，可得方程，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)平均每天實(shí)際耗資為y元，則y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20-（-q{x}^{2}+50000）}{x}$=（10+q）x+$\frac{50000}{x}$+290，分類討論，可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意得，試驗(yàn)開始后，每天的試驗(yàn)費(fèi)用構(gòu)成等差數(shù)列，公差為p，首項(xiàng)為p+280，
∴試驗(yàn)30天共花費(fèi)試驗(yàn)費(fèi)用為30（p+280）+$\frac{30×9}{2}×p$=17700，
解得，p=20…（2分）
設(shè)試驗(yàn)x天，平均每天耗資為y元，則
y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20}{x}$=10x+$\frac{100000}{x}$+290≥2290…（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)10x=$\frac{100000}{x}$，即x=100時(shí)取等號，
綜上得，p=20，試驗(yàn)天數(shù)為100天…（6分）
（2）設(shè)平均每天實(shí)際耗資為y元，則
y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20-（-q{x}^{2}+50000）}{x}$=（10+q）x+$\frac{50000}{x}$+290…（8分）
當(dāng)x=$\sqrt{\frac{50000}{10+q}}$≥50，即0＜q≤10時(shí)，
y≥2$\sqrt{（10+q）•50000}$+290，因?yàn)?＜q≤10，
所以，y_min=2$\sqrt{（10+q）•50000}$+290≤2290，…（10分）
當(dāng)x=$\sqrt{\frac{50000}{10+q}}$＜50，即q＞10時(shí)，當(dāng)x=50時(shí)，y取最小值，
且y_min=（10+q）•50+$\frac{50000}{50}$+290＞2290，
綜上得，q的取值范圍為（0，10]…（12分）

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．