Question

1．已知x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+2y≤4}\\{y≥-2}\end{array}\right.$，求：
（1）t=x²+y²+2x-2y+2的最小值；
（2）t=|x-y+1|的最大值；
（3）t=$\frac{y+3}{x-1}$的取值范圍；
（4）t=xy的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）畫出約束條件表示的平面區(qū)域，由t表示平面區(qū)域內的點，到點M（-1，1）距離的平方，求出t的最小值；
（2）由題意去掉絕對值，結合圖形得出最優(yōu)解，求出t的最大值；
（3）利用直線的斜率求出t的取值范圍；
（4）根據(jù)反比例函數(shù)的意義求出t的最大、最小值．

解答 解：畫出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+2y≤4}\\{y≥-2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，如圖所示；

（1）由t=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
表示平面區(qū)域內的點，到點M（-1，1）距離的平方，
且點M（-1，1）到直線y=x的距離為：
d=$\frac{|-1×1-1×1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，如圖1所示；

故所求的最小值為t=d²=2；
（2）由t=|x-y+1|，得±t=x-y+1，
即y=x±t+1，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-2}\end{array}\right.$，A（8，-2），
如圖2所示；

此時t取得最大值為8-（-2）+1=11；
（3）t=$\frac{y+3}{x-1}$表示區(qū)域內的點與N點（1，-3）連線的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2}\end{array}\right.$，得B（-2，-2），計算k_BN=$\frac{-3+2}{1+2}$=-$\frac{1}{3}$；
A（8，-2），k_AN=$\frac{-3+2}{1-8}$=$\frac{1}{7}$，如圖3所示；

所以t得取值范圍是t≤-$\frac{1}{3}$或t≥$\frac{1}{7}$；
（4）由t=xy得y=$\frac{t}{x}$，根據(jù)反比例函數(shù)的意義知，
曲線過點B（-2，-2）時，t取得最大值為4；
曲線過點A（8，-2）時，t取得最小值為-16；
∴t的取值范圍是[-16，4]．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的應用問題，也考查了數(shù)形結合解題方法，是綜合題．