已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-
1
2
x2+
a
2
x-
3
2

(Ⅰ)求f(x)在[t,t+1](0<t<
1
e
)上的最小值;
(Ⅱ)在函數(shù)f(x)與g(x)的公共定義域內(nèi)f(x)的圖象在g(x)圖象的上方,求實數(shù)a的范圍;
(Ⅲ)a=2時,曲線h(x)=
f(x)
x
-2g(x)的圖象上是否存在兩點A,B,使
AB
∥m(設(shè)線段AB的中點橫坐標為x0,函數(shù)h(x)在x=x0處的切線的方向向量為m)?若存在,求出直線AB的方程,若不存在,請說明理由.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:計算題,壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)f′(x)=lnx+1;由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,從而求最小值;
(Ⅱ)先求出函數(shù)f(x)與g(x)的公共定義域為(0,+∞);再化題意為x∈(0,+∞)時,f(x)-g(x)>0恒成立;從而化為a<2lnx+x+
3
x
,再記m(x)=2lnx+x+
3
x
,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時,化簡h(x)=
f(x)
x
-2g(x)=lnx+x2-2x+3,從而假設(shè)存在兩點A(x1,y1),B(x2,y2),(0<x1<x2)滿足題意,即h′(x0)=
h(x1)-h(x2)
x1-x2
,可化為
2
x1+x2
=
ln
x1
x2
x1-x2
;設(shè)
x1
x2
=z,則0<z<1;從而化為lnz=
2(z-1)
1+z
;再令y=lnz-
2(z-1)
1+z
,從而轉(zhuǎn)化為是否有零點即可.
解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=lnx+1;
則當(dāng)x∈(0,
1
e
)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(
1
e
,+∞)時,f′(x)>0,
f(x)在(0,
1
e
)上單調(diào)遞減,在(
1
e
,+∞)上單調(diào)遞增;
又∵0<t<
1
e
,
∴fmin(x)=f(
1
e
)=-
1
e
;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)與g(x)的公共定義域為(0,+∞);
由題意知,x∈(0,+∞)時,f(x)-g(x)>0恒成立;
即xlnx+
1
2
x2-
a
2
x+
3
2
>0恒成立,
即a<2lnx+x+
3
x
,
記m(x)=2lnx+x+
3
x

則m′(x)=
(x+3)(x-1)
x2
;
故m(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù);
故mmin(x)=m(1)=4;
故a<4;
(Ⅲ)a=2時,h(x)=
f(x)
x
-2g(x)=lnx+x2-2x+3,
若存在兩點A(x1,y1),B(x2,y2),(0<x1<x2)滿足題意,
即h′(x0)=
h(x1)-h(x2)
x1-x2
,
2
x1+x2
+x1+x2-2=
ln
x1
x2
x1-x2
+x1+x2-2;
2
x1+x2
=
ln
x1
x2
x1-x2
;
設(shè)
x1
x2
=z,則0<z<1;
上式可化為lnz=
2(z-1)
1+z
;
令y=lnz-
2(z-1)
1+z
,
則y′=
1
z
-
4
(z+1)2
=
(z-1)2
z(z+1)2
>0;
故y在(0,1]上是增函數(shù),ymax=0;
∴l(xiāng)nz-
2(z-1)
1+z
<0;
故lnz=
2(z-1)
1+z
不成立;
∴不存在滿足題意的兩點A,B.
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題,同時考查了換元法的應(yīng)用,化簡與運算也很困難,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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③水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個月;
④設(shè)水葫蘆蔓延至2m2、3m2、6m2所需的時間分別為t1、t2、t3,則有t1+t2=t3;
其中正確的說法有
 
.(請把正確的說法的序號都填在橫線上).

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z1
z2
的值是
 

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若關(guān)于x的不等式|x-2|+|x+a|≥3的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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π
3
,0)N(4,
3
,3)兩點中柱坐標系中距離.

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1-2x
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已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F(xiàn)分別是邊BC,CD上的中點.
(Ⅰ)求
AE
AF
的值
(Ⅱ)以
AE
、
AF
為基底,表示
AB

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|MN|
d
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