Question

8．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$滿足$（{\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}}）•\overrightarrow{BC}$=0，且2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|${\overrightarrow{AB}}$|•|${\overrightarrow{AC}}$|，則△ABC為（　�。�

• A． 三邊都不等的三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰不等邊三角形
• D． 等邊三角形

Answer 1

分析 由第一個條件可得角A的平分線和BC邊垂直，△ABC為等腰三角形，且AB=AC．
再根據(jù)第二個條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得 cos∠A=$\frac{1}{2}$，可得∠A的值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$滿足$（{\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}}）•\overrightarrow{BC}$=0，故角A的平分線和BC邊垂直，
故△ABC為等腰三角形，且AB=AC．
∵2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2AB•AC•cos∠A=|${\overrightarrow{AB}}$|•|${\overrightarrow{AC}}$|，
∴cos∠A=$\frac{1}{2}$，∴∠A=$\frac{π}{3}$，
則△ABC為等邊三角形，
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．