Question

6．已知函數(shù)f（x）=2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$，給出如下三個(gè)命題：
p₁：?a∈R，使得函數(shù)y=f（x）的偶函數(shù)；
p₂：若a=-3，則y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有零點(diǎn)；
p₃：?a∈（-∞，-2]，函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增；
則下列命題正確的是（　　）

• A． ￢p₁
• B． p₁∧p₂
• C． p₂∧p₃
• D． p₁∧（￢p₃）

Answer 1

分析 舉出正例a=2，可判斷命題p₁；將a=-3代入，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷命題p₂，求出使函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增的a的范圍，可判斷命題p₃；

解答 解：當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2^x+1+$\frac{2}{{2}^{x}}$，滿足f（-x）=f（x），
使得函數(shù)y=f（x）的偶函數(shù)，故命題p₁是真命題；
當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=2^x+1-$\frac{3}{{2}^{x}}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
則y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上無零點(diǎn)，故命題p₂是假命題；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$為增函數(shù)，若函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增，只須f（-$\frac{1}{2}$）≥0，
即-1≤a≤0時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增，故命題p₃是假命題；
故命題￢p₁，p₁∧p₂，p₂∧p₃均為假命題，
命題p₁∧（￢p₃）為真命題，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．