Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

3

，橢圓E的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間的距離為

5

．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)頂點(diǎn)P（-3，4）且斜率為k的直線交橢圓E于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于M，N的點(diǎn)H，滿足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| HN |

．證明：點(diǎn)H恒在一條直線上，并求出點(diǎn)H所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），由題知：

c a = 3 3 a2+b2 = 5

，又a²=b²+c²，解出即可；
（II） 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），由已知直線MN的方程為y=kx+3k+4，與橢圓的方程聯(lián)立可得：（2+3k²）x²+6k（3k+4）x+（27k²+72k+42）=0，
得到根與系數(shù)的關(guān)系．又P，M，H，N四點(diǎn)共線，將四點(diǎn)都投影到x軸上，滿足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| HN |

．可得

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，進(jìn)而解出x₀用k表示，及其y₀用k表示，消去k即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），
由題知：

c a = 3 3 a2+b2 = 5

，又a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=2，c=1．
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ） 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），
由已知直線MN的方程為y=kx+3k+4，
聯(lián)立方程

2x2+3y2=6 y=kx+(3k+4)

，
消去y，得（2+3k²）x²+6k（3k+4）x+（27k²+72k+42）=0，
∴x₁+x₂=-

6k(3k+4)

2+3k2

，x₁x₂=

27k2+72k+42

2+3k2

．①
又P，M，H，N四點(diǎn)共線，將四點(diǎn)都投影到x軸上，
滿足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| HN |

．
∴

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，
整理得：x₀=

2x1x2+3(x1+x2)

6+(x1+x2)

．
將①代入可得x₀=

6k+7

1-2k

，
∴y₀=kx₀+（3k+4）=

k(6k+7)

1-2k

+（3k+4）=

2k+4

1-2k

，
消去參數(shù)k得x₀-2y₀+1=0，
即H點(diǎn)恒在直線x-2y+1=0上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、成比例線段的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．