Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，通項a_n=2ⁿp+nq，（p，q為常數(shù)），且a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列，求：
（1）p和q的值；
（2）求該數(shù)列前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （1）把n=1代入通項其值等于3，得到關于p與q的方程，記作①，又令n=4和5分別表示出a₄和a₅，根據(jù)a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質得到2a₄=a₁+a₅，列出關于p與q的另一方程，記作②，聯(lián)立①②即可求出p與q的值，；
（2）把p與q的值代入通項即可確定出通項，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式．

解答 解：（1）由a₁=3，則3=2p+q①，
又a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列，
則（3+32p+5q）=2（16p+4q）②，
聯(lián)立①②，解得p=1，q=1；
（2）把p=1，q=1代入通項得：a_n=2ⁿ+n，
則S_n=2+2²+…+2ⁿ+1+2+…+n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（1+n）}{2}$，即${S_n}={2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 此題考查學生掌握等差數(shù)列的性質，靈活運用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，是一道中檔題．