Question

7．已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•（$\frac{2}{n+1}-λ$），n=1，2，3，…，且數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n代入c_n=2ⁿ•（$\frac{2}{n+1}$-λ），由c_n+1-c_n分離λ后，求出$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$的最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），
由2a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列，可得
2a₃=2a₁+3a₂，
即為2a₁q²=2a₁+3a₁q，可得2q²-3q-2=0，
解得q=2（-$\frac{1}{2}$舍去），
則a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）c_n=a_n•（$\frac{2}{n+1}-λ$）=2ⁿ•（$\frac{2}{n+1}-λ$），
由數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，可得
則c_n+1-c_n=2ⁿ⁺¹•（$\frac{2}{n+2}$-λ）-2ⁿ•（$\frac{2}{n+1}-λ$）
=2ⁿ•（$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$-λ）＜0對一切n∈N^*恒成立，
即$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$-λ＜0，即λ＞$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{2n}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$，
當(dāng)n=1或2時(shí)，n+$\frac{2}{n}$取得最小值，且為3，
則$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$的最大值為$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
即有λ＞$\frac{1}{3}$．即λ的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．