【題目】已知函數(shù)yf(x)和yg(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示.給出下列四個(gè)命題:

①方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根;②方程g[f(x)]=0有且僅有3個(gè)根;

③方程f[f(x)]=0有且僅有7個(gè)根;④方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根.

其中正確命題的序號(hào)為________.

【答案】①④

【解析】①設(shè)tg(x),則由f[g(x)]=0,得f(t)=0,則t1=0或-2<t2<-1或1<t3<2.當(dāng)t1=0時(shí),g(x)=0有2個(gè)不同根;當(dāng)-2<t2<-1時(shí),g(x)=t2有2個(gè)不同根;當(dāng)1<t3<2時(shí),g(x)=t3有2個(gè)不同根,∴方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根,故①正確.

②設(shè)tf(x),若g[f(x)]=0,則g(t)=0,則-2<t1<-1或0<t2<1.當(dāng)-2<t1<-1時(shí),f(x)=t1有1個(gè)根;當(dāng)0<t2<1時(shí),f(x)=t2有3個(gè)不同根,

∴方程g[f(x)]=0有且僅有4個(gè)根,故②錯(cuò)誤.

③設(shè)tf(x),若f[f(x)]=0,則f(t)=0,則t1=0或-2<t2<-1或1<t3<2.當(dāng)t1=0時(shí),f(x)=t1有3個(gè)不同根;當(dāng)-2<t2<-1時(shí),f(x)=t2有1個(gè)根;當(dāng)1<t3<2時(shí),f(x)=t3有1個(gè)根,∴方程f[f(x)]=0有且僅有5個(gè)根,故③錯(cuò)誤.

④設(shè)tg(x),若g[g(x)]=0,則g(t)=0,則-2<t1<-1或0<t2<1.當(dāng)-2<t1<-1時(shí),g(x)=t1有2個(gè)不同根;當(dāng)0<t2<1時(shí),g(x)=t2有2個(gè)不同根,∴方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根,故④正確.

綜上,命題①④正確.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

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