【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知、（）是橢圓上的兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.

①求四邊形APBQ的面積的最大值；

②求證：.

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的方程，再根據(jù)拋物線的焦點坐標，和橢圓離心率，則可求出橢圓C的方程的解析式.

（2）①先求出m的值，設(shè)，和直線AB的方程，再聯(lián)立直線AB的方程和由（1）求得的橢圓方程，得到，可求出t的范圍，再根據(jù)韋達定理可得，則四邊形APBQ的面積的最大值可求，②由①得P點坐標，再根據(jù)斜率公式寫出,,再將化簡即可得則可證.

（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，

因為拋物線的焦點坐標為，則，

由，

∴橢圓C的方程為.

（2）①當時，解得，

，

設(shè)，直線AB的方程為，

，

，

由，解得，

由韋達定理得.

，

由此可得：四邊形APBQ的面積，

∴當時，.

②，

，

，

即 ，

.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某縣畜牧技術(shù)員張三和李四9年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行跟蹤調(diào)查，張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量單位：萬只與相應年份序號的數(shù)據(jù)表和散點圖如圖所示，根據(jù)散點圖，發(fā)現(xiàn)y與x有較強的線性相關(guān)關(guān)系，李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)單位：個關(guān)于x的回歸方程．

年份序號x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

年養(yǎng)殖山羊萬只

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量，求y關(guān)于x的線性回歸方程參考統(tǒng)計量：，；

試估計：該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只

到第幾年，該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了？

附：對于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計，其高度均在區(qū)間[19，31]內(nèi)，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為27 cm及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗．

（1）求圖中a的值；

（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于A，B兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：

A試驗區(qū)

B試驗區(qū)

合計

優(yōu)質(zhì)樹苗

20

非優(yōu)質(zhì)樹苗

60

合計

將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)樹苗與A，B兩個試驗區(qū)有關(guān)系，并說明理由；

（3）用樣本估計總體，若從這批樹苗中隨機抽取4棵，其中優(yōu)質(zhì)樹苗的棵數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望EX．

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，四邊形是直角梯形，，，.

（Ⅰ）證明：平面.

（Ⅱ）若平面平面，為的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題：

①設(shè)A，B是兩個定點，為非零常數(shù)，若，則P的軌跡是雙曲線；

②過定圓C上一定點A作圓的弦AB，O為原點，若向量．則動點P的軌跡是橢圓；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線與橢圓有相同的焦點．

其中正確命題的序號為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

某位同學進行寒假社會實踐活動，為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫（°C）與該奶茶店的這種飲料銷量（杯），得到如下數(shù)據(jù)：

日 期

1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均氣溫（°C）

9

10

12

11

8

銷量（杯）

23

25

30

26

21

（1）若從這五組數(shù)據(jù)中隨機抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程．

（參考公式：．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年3月到2019年3月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖（注：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比），根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格同比均上漲

B.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格環(huán)比有漲有跌

C.2019年3月全國居民消費價格同比漲幅最大

D.2019年3月全國居民消費價格環(huán)比變化最快

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為.設(shè)過點的直線，與此橢圓分別交于點，，其中，，.

（1）設(shè)動點滿足：，求點的軌跡；

（2）設(shè)，，求點的坐標；

（3）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關(guān)），并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個結(jié)論：

①命題“，”的否定是“，”；

②命題“若，則且”的否定是“若，則”；

③命題“若，則或”的否命題是“若，則或”；

④若“是假命題，是真命題”，則命題，一真一假.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

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