Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3，x∈（-4，4）．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．使得y=f（x）在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)函數(shù)；
（3）若函數(shù)y=f（x）在（-4，4）上有兩個零點，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）當a=-1時，函數(shù)f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-4，1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）單調(diào)遞增．
因此當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=2，而無最大值．
（2）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax+3=（x+a）²+3-a²，
∴當-a≤-4時，即a≥4時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
當-a≥4時，即a≤-4時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
綜上可得：當a≥4或a≤-4時，y=f（x）在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)函數(shù)．
（3）若函數(shù)y=f（x）在（-4，4）上有兩個零點，則

f(-a)＜0 f(-4)＞0 f(4)＞0

，即

3-a2＜0 19-8a＞0 19+8a＞0

，解得

3

＜a＜

19

8

或-

19

8

＜a＜-

3

．
∴實數(shù)a的范圍是

3

＜a＜

19

8

或-

19

8

＜a＜-

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)零點判定定理，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．