Question

17．已知圓C：（x-2）²+y²=1．
（1）求：過(guò)點(diǎn)P（3，m）與圓C相切的切線方程；
（2）若點(diǎn)Q是直線x+y-6=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓C的切線QA，QB，其中A，B為切點(diǎn)，求：四邊形QACB面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=0時(shí)，P在圓上，則切線方程為x=3；當(dāng)m≠0時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P（3，m）與圓C相切的切線方程為：
y-m=k（x-3）．即kx-y+m-3k=0．再由直線與圓相切的條件：d=r，求出k，注意k不存在的情況也成立；
（2）由圖象求得四邊形QACB的面積為S=2×$\frac{1}{2}$QA•AC=QA，當(dāng)QA最小時(shí)，S最小，由勾股定理知只要求得QC的最小，可經(jīng)過(guò)C作直線x+y-6=0的垂線，垂足即為所求．運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到最小值．

解答 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，P在圓上，則切線方程為x=3；
當(dāng)m≠0時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P（3，m）與圓C相切的切線方程為：
y-m=k（x-3）．即kx-y+m-3k=0．
則由直線與圓相切得，d=r，即有$\frac{|2k+m-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{{m}^{2}-1}{2m}$，即y=$\frac{{m}^{2}-1}{2m}$x+$\frac{3-{m}^{2}}{2m}$，
顯然x=3也是切線方程．
故m=0時(shí)，切線方程為x=3；當(dāng)m≠0時(shí)，切線方程為x=3或
y=$\frac{{m}^{2}-1}{2m}$x+$\frac{3-{m}^{2}}{2m}$；
（2）由圖象可知AC=BC=1，AQ=BQ，四邊形QACB的面積為S=2×$\frac{1}{2}$QA•AC=QA，
當(dāng)QA最小時(shí)，S最�。�在直角三角形QAC中，QA=$\sqrt{Q{C}^{2}-1}$，
只要求得QC的最小，可經(jīng)過(guò)C作直線x+y-6=0的垂線，垂足即為所求．
由點(diǎn)到直線的距離公式，得C到直線的距離d=$\frac{|2+0-6|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則此時(shí)QA=$\sqrt{7}$，故四邊形QACB的面積的最小為$\sqrt{7}$．
此時(shí)CQ：y=x-2，∴Q（4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切線方程的求法，注意斜率不存在的情況，考查運(yùn)用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題，屬于中檔題．