Question

【題目】在數(shù)列，中，已知，，且，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列．

求證：是等比數(shù)列；

設(shè)m是不超過100的正整數(shù)，求使成立的所有數(shù)對(duì)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），；

【解析】

試題（1）由已知條件構(gòu)造數(shù)列的遞推關(guān)系，從而根據(jù)定義證得等比數(shù)列；（2）由已知構(gòu)造數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入已知關(guān)系式化簡為形如的不定方程，由的范圍得的范圍，從而得到可能的取值；

試題解析：（1）由，，成等差數(shù)列可得，，①

由，，成等差數(shù)列可得，， ②

①+②得，，

所以是以6為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列．

（2）由（1）知，，③ ①-②得，，④

③④得，，

代入，得，

所以，

整理得，，所以，

由是不超過100的正整數(shù)，可得，所以或，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，符合題意．

故使成立的所有數(shù)對(duì)為，．