Question

【題目】折紙是一項(xiàng)藝術(shù)，可以折出很多數(shù)學(xué)圖形．將一張圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，圓心B（－1，0），半徑為4，圓內(nèi)一點(diǎn)A為拋物線的焦點(diǎn)．若每次將紙片折起一角，使折起部分的圓弧的一點(diǎn)始終與點(diǎn)A重合，將紙展平，得到一條折痕，設(shè)折痕與線段B的交點(diǎn)為P．

（Ⅰ）將紙片展平后，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)A的直線l與軌跡C交于R，S兩點(diǎn)，當(dāng)l無(wú)論如何變動(dòng)，在AB所在直線上存在一點(diǎn)T，使得所在直線一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）軌跡C的方程為；（Ⅱ）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（4，0）．

【解析】

（Ⅰ）依題意知PA=P，P的軌跡是以B、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2的橢圓，由題意能求出其橢圓方程；（Ⅱ）題意等價(jià)于在AB所在直線上存在一點(diǎn)T，使得TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x軸上任意一點(diǎn)都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T（t，0）滿足條件，設(shè)l的方程為y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，結(jié)合已知條件能求出存在T（4，0），使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．

（Ⅰ）依題意：折痕所在直線m為線段的垂直平分線，∴PA=P，

∴PB+PA= PB + P=4＞2，

∴P的軌跡是以B、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2的橢圓．

∴b2=3．

∴橢圓方程為．

（Ⅱ）由題意可知：在AB所在直線上存在一點(diǎn)T，使得所在直線一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)等價(jià)于在AB所在直線上存在一點(diǎn)T，使得TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x軸上任意一點(diǎn)都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T（t，0）滿足條件，

設(shè)l的方程為y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），

聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，①，其中△＞0，

∵TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴=0，②

∵R，S兩點(diǎn)在直線y=k（x﹣1）上，

∴y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②，得：

==0，

∴2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，③

將①代入③，得==0，④

要使得④與k的取值無(wú)關(guān)，則t=4，

綜上所述，存在T（4，0），使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即在AB所在直線上存在一點(diǎn)T，使得所在直線一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn).