Question

8．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-1，則滿足$f（x）＜\frac{3}{2}x$的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，-2）∪（0，2）．

Answer 1

分析 先求出x＜0時(shí)函數(shù)f（x）的解析式，畫出f（x）以及y=$\frac{3}{2}$x的圖象，數(shù)形結(jié)合求得滿足$f（x）＜\frac{3}{2}x$的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-1，
設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=2^-x-1=-f（x），∴f（x）=1-2^-x，
令f（x）=$\frac{3}{2}$x，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{2}^{x}-1=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{1{-2}^{-x}=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，或x=0，
求得x=2，x=0，x=-2，如圖所示：
∴滿足$f（x）＜\frac{3}{2}x$的實(shí)數(shù)x的取值范圍為 （-∞，-2）∪（0，2），
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的圖象，屬于中檔題．