Question

13．若函數(shù)f（x）滿足：f（-x）+f（x）=e^x+e^-x，則稱f（x）為“e函數(shù)”．
（1）試判斷f（x）=e^x+x³是否為“e函數(shù)”，并說明理由；
（2）若f（x）為“e函數(shù)”且$f（x）-f（-x）={e^x}-{e^{-x}}-\frac{2}{x}$，
（ⅰ）求證：f（x）的零點(diǎn)在$（\frac{1}{2}，2）$上；
（ⅱ）求證：對(duì)任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）+f（x）=e^x+e^-x，可判斷f（x）=e^x+x³是“e函數(shù)”；
（2）若f（x）為“e函數(shù)”且$f（x）-f（-x）={e^x}-{e^{-x}}-\frac{2}{x}$，
（�。┯捎趛=e^x與$y=-\frac{1}{x}$均為增函數(shù)，可知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，通過計(jì)算知f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，f（2）=e²-$\frac{1}{2}$＞0，利用零點(diǎn)存在定理即可證得：f（x）的零點(diǎn)在$（\frac{1}{2}，2）$上；
（ⅱ）由（�。┲�，f（x）的零點(diǎn)x₀∈（$\frac{1}{2}$，2），且f（x₀）=0，從而可證：對(duì)任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

解答 （1）解：∵f（-x）+f（x）=e^-x-x³+e^x+x³=e^x+e^-x，
∴f（x）為“e函數(shù)”．
（2）證明：∵f（-x）+f（x）=e^x+e^-x①，
$f（x）-f（-x）={e^x}-{e^{-x}}-\frac{2}{x}$②
∴①+②得：$2f（x）=2{e^x}-\frac{2}{x}$，∴$f（x）={e^x}-\frac{1}{x}$．
（�。�∵y=e^x與$y=-\frac{1}{x}$均為增函數(shù)，∴f（x）在（0，+∞）上為贈(zèng)函數(shù)，
又e^x＞0，∴f（x）的唯一零點(diǎn)必在（0，+∞）上．
∵f（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$-2=$\sqrt{e}$-2＜0，f（2）=e²-$\frac{1}{2}$＞0，
∴f（x）的唯一零點(diǎn)在（$\frac{1}{2}$，2）上．
（ⅱ）由（�。┲�，f（x）的零點(diǎn)x₀∈（$\frac{1}{2}$，2），且f（x₀）=0，
又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x）＜0在（0，x₀）上恒成立，
∴對(duì)任意a＞0，存在λ=$\frac{{x}_{0}}{a}$＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算推理能力，屬于難題．