Question

已知圓C：（x+1）²+y²=20點B（l，0）．點A是圓C上的動點，線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P．
（I）求動點P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M(0，

1

5

)，N為拋物線C₂：y=x²上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交曲線C_l于P，Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知可得動點P的軌跡C₁是一個橢圓，其中2a=2

5

，2c=2，由此能求出動點P的軌跡C₁的方程．（Ⅱ）設(shè)N（t，t²），則PQ的方程為y=2tx-t²，聯(lián)立方程組

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，得：（4+20t²）x²-20t³x+5t⁴-20=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點到直線距離公式、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出三角形面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，
點P滿足|PB|+|PC|=|AC|=2

5

＞2=|BC|
∴動點P的軌跡C₁是一個橢圓，其中2a=2

5

，2c=2…（2分）
∴動點P的軌跡C₁的方程為

x2

5

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），
整理，得y=2tx-t²，
聯(lián)立方程組

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，消去y整理得：（4+20t²）x²-20t³x+5t⁴-20=0，…（6分）
有

△=80(4+20t2-t4)＞0 x1+x2= 20t3 4+20t2 x1x2= 5t4-20 4+20t2

，
而|PQ|=

1+4t2

×|x1-x2|=

1+4t2

×

80(4+20t2-t4)

4+20t2

，
點M到PQ的高為h=

1 5 +t2

1+4t2

，…（10分）
由S△MPQ=

1

2

|PQ|h代入化簡得：
即S△MPQ=

5

10

-(t2-10)2+104

≤

5

10

•

104

=

130

5

；
當(dāng)且僅當(dāng)t²=10時，S_△MPQ可取最大值

130

5

．
當(dāng)直線的斜率不存在時，x=t，S_△MPQ=

5

5

．
∴S_△MPQ最大值

130

5

．…（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，解題時要注意根的判別式、韋達(dá)定理、點到直線距離公式、弦長公式的合理運(yùn)用．