Question

18．已知b＜a＜0，且a，b，2三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，一條光線從點(diǎn)（a，b）射出，經(jīng)y軸反射與圓（x+4）²+（y-1）²=1相切，則反射光線所在的直線的斜率為（　　）

• A． -$\frac{5}{3}$或-$\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{3}{2}$或-$\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{5}{4}$或-$\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由a，b＞0，可得a，-2，b成等比數(shù)列，即有ab=4；討論a，b，-2成等差數(shù)列或b，a，-2成等差數(shù)列，運(yùn)用中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得a，b，點(diǎn)（-1，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（1，-4），可設(shè)反射光線所在直線的方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由b＜a＜0，且a，2，b成等比數(shù)列，
即有ab=4，①
若a，b，2成等差數(shù)列，可得
a+2=2b，②
由①②可得a=-4，b=-1，不符合題意．
若b，a，2成等差數(shù)列，可得
b+2=2a，③
由①③可得，b=-4，a=-1．
點(diǎn)（-1，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（1，-4），
故可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+4=k（x-1），化為kx-y-k-4=0．
∵反射光線與圓（x+4）²+（y-1）²=1相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-4k-1-k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
化為24k²+50k+24=0，
∴k=$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查了反射光線的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式、對(duì)稱點(diǎn)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．