Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，0），B（4，3），若A，B，C三點按順時針方向排列構(gòu)成等邊三角形ABC，且直線BC與x軸交于點D．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖象，設(shè)∠BAD=α、∠CAD=β，由三角函數(shù)的定義求出cosα、sinα的值，由β=60°-α和兩角差的余弦函數(shù)求出cosβ的值，可得答案；
（2）設(shè)點C（x，y），由（1）和兩角差的正弦函數(shù)求出sinβ，由三角函數(shù)的定義求出x和y，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)∠BAD=α，∠CAD=β，且AB=5，
由三角函數(shù)的定義得$cosα=\frac{4}{5}$，$sinα=\frac{3}{5}$，
故cosβ=cos（60°-α）═$\frac{1}{2}cosα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$，
即$cos∠CAD=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．
（2）設(shè)點C（x，y）．
由（1）知sinβ=sin（60°-α）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα=\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$，
因為AC=AB=5，
所以$x=5cosβ=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{2}$，$y=-5sinβ=\frac{{3-4\sqrt{3}}}{2}$，
故點$C（\frac{{4+3\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3-4\sqrt{3}}}{2}）$．

點評 本題考查兩角差的余弦函數(shù)，兩角差的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的定義，以及變角在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查化簡、計算能力．