Question

13．設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線(xiàn)是什么曲線(xiàn)；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．變形得 ρ²sin²θ=8ρcosθ，利用ρsinθ=x，ρcosθ=y，直角坐標(biāo)方程
（2）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），即y=2x-4，代入y²=8x利用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式得到|AB|．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
 得ρsin²θ=8cosθ，∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，∴y²=8x，
∴曲線(xiàn)C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x上的拋物線(xiàn)．
（2）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），即y=2x-4，代入y²=8x得 x²-6x+4=0，∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{{6}^{2}-4×4}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)的幾何意義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．