【題目】如圖,已知四棱錐,底面為菱形,,,平面分別是的中點。

(1)證明:

(2)若上的動點,與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值。

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)證明,利用平面即可證得,問題得證。

2)過點于點,過點于點,連接.垂直時,與平面所成最大角,利用該最大角的正切值為即可求得,證明就是二面角的一個平面角,解即可。

1)因為底面為菱形,

所以為等邊三角形,又中點

所以,又

所以

因為平面,平面

所以,又

所以平面

2)過點于點,過點于點,連接

垂直時,與平面所成最大角.

由(1)得,此時.所以就是與平面所成的角.

中,由題意可得:,

所以.

,在中由等面積法得:

解得:,所以

因為平面,平面

所以平面平面

又平面平面,平面

所以平面,又平面

所以,又,

所以平面,

所以

所以就是二面角的一個平面角

因為的中點,且

所以,又

所以

中,求得:,,

可得:,即:,解得:

所以

所以

所以二面角的余弦值為

練習冊系列答案
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