Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（13分）
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），討論h（x）的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程為：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．
化為：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）
=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，則u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)u（x）在R上單調(diào)遞增．
∵u（0）=0，∴x＞0時(shí)，u（x）＞0；x＜0時(shí)，u（x）＜0．
（i）a≤0時(shí)，ex﹣a＞0，∴x＞0時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
x＜0時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．
∴x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．
（ii）a＞0時(shí)，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．
解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1時(shí)，x∈（﹣∞，lna）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
x∈（lna，0）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
x∈（0，+∞）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．
當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，x∈R時(shí)，h′（x）≥0，∴函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
③1＜a時(shí)，lna＞0，x∈（﹣∞，0）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
x∈（0，lna）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
x∈（lna，+∞）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（0）=﹣2a﹣1．
當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
綜上所述：a≤0時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．
x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）在x∈（﹣∞，lna）是單調(diào)遞增；函數(shù)h（x）在x∈（lna，0）上單調(diào)遞減．當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
a＞1時(shí)，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上單調(diào)遞增；函數(shù)h（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減．當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
【解析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，則u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函數(shù)u（x）在R上單調(diào)遞增．
由u（0）=0，可得x＞0時(shí)，u（x）＞0；x＜0時(shí)，u（x）＜0．
對(duì)a分類(lèi)討論：a≤0時(shí)，0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，a＞1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解導(dǎo)數(shù)的加減法法則的相關(guān)知識(shí)，掌握導(dǎo)數(shù)加減法法則：，以及對(duì)導(dǎo)數(shù)的乘除法法則的理解，了解導(dǎo)數(shù)的乘除法法則：；．