Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PCD是邊長為a的正三角形，且平面PCD⊥底面ABCD，E為PC的中點．
（1）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；
（2）求AP與平面ABCD所成的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PA與DE所成角的余弦值．
（2）

AP

=（-a，

1

2

a，

3

2

a），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），利用向量法能求出AP與平面ABCD所成的正切值．

解答： 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（a，0，0），P（0，

1

2

a，

3

2

a），D（0，0，0），E（0，

3

4

a，

3

4

a），

AP

=（-a，

1

2

a，

3

2

a），

DE

=（0，

3

4

a，

3

4

a），
cos＜

AP

，

DE

＞=

0+ 3 8 a+ 3 8 a

2 a• 3 2 a

=

6

4

，
∴異面直線PA與DE所成角的余弦值為

6

4

．
（2）∵

AP

=（-a，

1

2

a，

3

2

a），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)AP與平面ABCD所成角為θ，
sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

3 2 a

2 a

|=

6

4

，
∴tanθ=

15

5

．
∴AP與平面ABCD所成的正切值為

15

5

．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線面角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．