Question

10．銷售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別是P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元），它們與投入資金t（萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=$\frac{3}{5}$$\sqrt{t}$，Q=$\frac{1}{5}$t．今將3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，其中對(duì)甲種商品投資x（萬(wàn)元）．求：
（Ⅰ）經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）怎樣將資金分配給甲、乙兩種商品，能使得總利潤(rùn)y達(dá)到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ利潤(rùn)函數(shù)為y=甲商品所得的利潤(rùn)P+乙商品所得的利潤(rùn)y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x），x∈[0，3]．
（Ⅱ）y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x）=-$\frac{1}{5}（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{20}$．由二次函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)的最大值以及對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x），x∈[0，3]．…（5分）
（Ⅱ）y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x）=-$\frac{1}{5}（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{20}$．
∵$\frac{3}{2}∈[0，3]$，∴當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，即x=$\frac{9}{4}$，3-x=$\frac{3}{4}$時(shí)，y_max=$\frac{21}{20}$．
即給甲、乙兩種商品分別投資$\frac{9}{4}$萬(wàn)元、$\frac{3}{4}$萬(wàn)元可使總利潤(rùn)達(dá)到最大值$\frac{21}{20}$萬(wàn)元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了可化為二次函數(shù)模型的根式函數(shù)的應(yīng)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．