Question

18．已知四面體ABCD滿足$AB=CD=\sqrt{6}，AC=AD=BC=BD=2$，則四面體ABCD的外接球的表面積是7π．

Answer 1

分析 由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以$\sqrt{6}$，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進而求出球的表面積．

解答 解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以$\sqrt{6}$，2，2為三邊的三角形作為底面，
且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，
從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，
并且x²+y²=6，x²+z²=4，y²+z²=4，
設球半徑為R，則有（2R）²=x²+y²+z²=7，
∴4R²=7，
∴球的表面積為S=4πR²=7π．
故答案為：7π．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．