Question

9．對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）設(shè)f（x）=2^x+m是定義在[-1，2]上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（-x）=-f（x），根據(jù)方程是否有解得出結(jié)論；
（2）令方程f（-x）=-f（x）有解得出m的范圍；
（3）使用換元法得出方程有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出．

解答 解：（1）令f（-x）=-f（x）得ax²+2bx-4a=-（ax²+2bx-4a），
∴整理可得：x²-4=0，顯然方程有解，
∴二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R）是“限制奇函數(shù)“．
（2）∵f（x）=2^x+m是定義在[-1，2]上的“限制奇函數(shù)”，
∴f（-x）=-f（x）在[-1，2]上有解．
即2^-x+m=-2^x-m在[-1，2]上有解．即m=-$\frac{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}{2}$在[-1，2]上有解，
令t=2^x，g（t）=-$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$，則$\frac{1}{2}$≤t≤4．
則g（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，在（1，4]上是減函數(shù)，
∵g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，g（1）=-1，g（4）=-$\frac{17}{8}$．
∴-$\frac{17}{8}$≤g（t）≤-1．
即m的取值范圍是[-$\frac{17}{8}$，-1]．
（3）∵f（x）是“局部奇函數(shù)”，∴f（-x）=-f（x）有解，
∴4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3）有解，
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0有解，
設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程t²-2m?t+2m²-8=0在[2，+∞）上有解，
設(shè)g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
則g（t）的圖象的對稱軸為x=m，開口向上
∴①若m≥2，則△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，解得2≤m≤2$\sqrt{2}$．
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{m＜2}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.}\\{△＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{m＜2}\\{{m}^{2}-2m-2＜0}\end{array}\right.}\\{-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得1-$\sqrt{3}$≤m＜2．
綜上，m的取值范圍是[1-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)的新定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，換元法解題思想，屬于中檔題．