Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，圓I與F₁P的延長(zhǎng)線，線段F₂P，F(xiàn)₁F₂的延長(zhǎng)線均相切，連接PI并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，若S${\;}_{□PI{F}_{1}}$：S${\;}_{□DI{F}_{1}}$=1：2，那么該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可得I到直線PF₁和直線F₁F₂的距離相等，連接F₁I，即為∠PF₁F₂的平分線，連接F₂I，即為∠PF₂D的角平分線，運(yùn)用三角形的面積公式和內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，即可得到DF₁=2PF₁，DF₂=2PF₂，兩式相減，結(jié)合雙曲線的定義和離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：圓I與F₁P的延長(zhǎng)線，線段F₂P，F(xiàn)₁F₂的延長(zhǎng)線均相切，可得I到直線PF₁和直線F₁F₂的距離相等，
連接F₁I，即為∠PF₁F₂的平分線，
由S${\;}_{△P{F}_{1}I}$：S${\;}_{△D{F}_{1}I}$=1：2，
可得PF₁：DF₁=PI：ID=1：2，DF₁=2PF₁，
連接F₂I，即為∠PF₂D的角平分線，
可得$\frac{P{F}_{2}}{D{F}_{2}}$=$\frac{PI}{ID}$=$\frac{1}{2}$，DF₂=2PF₂，
可得F₁F₂=DF₁-DF₂=2（PF₁-PF₂）=2•2a=2c，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理和三角形的面積公式，考查定義法的運(yùn)用，屬于中檔題．