Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$，弦AB的中點(diǎn)是M（3，1）．
（1）求過點(diǎn)M且垂直于長軸的弦長；
（2）求弦AB所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）在橢圓方程中，取x=3求出對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則答案可求；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差后整理，即可求得以M為中點(diǎn)的直線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程得答案．

解答 解：（1）在橢圓方程$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$中，取x=3，得$\frac{{y}^{2}}{9}=1-\frac{9}{36}=\frac{3}{4}$，解得y=$±\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴過點(diǎn)M且垂直于長軸的弦長為$2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$，
兩式作差可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵M(jìn)（3，1）是弦AB的中點(diǎn)，
∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9×6}{36×2}=-\frac{3}{4}$，
∴弦AB所在直線的方程為y-1=$-\frac{3}{4}（x-3）$，
化為一般方程為：3x+4y-13=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，涉及中點(diǎn)弦問題，利用“點(diǎn)差法”使問題變得簡潔，是中檔題．