Question

11．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．外接球半徑為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 幾何體是一個底面是頂角為120°且底邊長是2$\sqrt{3}$，在等腰三角形的頂點處有一條垂直于底面的側棱，側棱長是2，建立適當?shù)淖鴺讼�，寫出各個點的坐標和設出球心的坐標，根據(jù)各個點到球心的距離相等，點的球心的坐標，可得球的半徑，做出體積．

解答 解：由三視圖知：幾何體為三棱錐，且一條側棱與底面垂直，高為2，
三棱錐的底面為等腰三角形，且三角形的底邊長為2$\sqrt{3}$，底邊上的高為1，
∴幾何體的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
以D為原點，DB為x軸，DA為y軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）
∵（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²，①
x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，②
（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²+z²=x²+y²+z²，③
∴x=1，y=$\sqrt{3}$，z=1，
∴球心的坐標是（1，$\sqrt{3}$，1），
∴球的半徑是$\sqrt{5}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{5}$．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查由三視圖還原幾何體，考查三棱錐與外接球之間的關系，考查利用空間向量解決立體幾何問題．