Question

11．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，其中${a_{k_1}}$，${a_{k_2}}$，…，${a_{k_n}}$恰為等比數(shù)列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+…+k_n．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，分別求得${a_{k_n}}$項的通項公式，可得${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$，再利用拆項法進行求和，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè){a_n}首項為a₁，公差為d，∵a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列，∴a₅²=a₁a₁₇，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d），∴a₁=2d．
設(shè)等比數(shù)列公比為q，則 q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+4d}{{a}_{1}}$=3，
對${a_{k_n}}$項來說，在等差數(shù)列中：${a_{k_n}}={a_1}+（{k_n}-1）d=\frac{{{k_n}+1}}{2}{a_1}$，在等比數(shù)列中：${a_{k_n}}={a_1}{q^{n-1}}={a_1}{3^{n-1}}$．
∴${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$，
∴${k_1}+{k_2}+…{k_n}=（2•{3^0}-1）+（2•{3^1}-1）+…+（2•{3^{n-1}}-1）=2（1+3+…+{3^{n-1}}）-n$=3ⁿ-n-1．

點評 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，用拆項法進行求和，屬于中檔題．