Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合（點(diǎn)M從點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B），如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是

 

．（填出所有正確命題的序號(hào)）

①f（

1

4

）=1；     
②f（x）在定義域上單調(diào)遞增；     
③方程f（x）=0的解是x=

1

2

；
④f（x）是奇函數(shù)；                             
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：由題中對(duì)映射運(yùn)算描述，對(duì)五個(gè)命題逐一判斷其真?zhèn)危?br />①m=

1

4

此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標(biāo)，即可判斷；
②可由圖3，由M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性，即可判斷；
③可由②的單調(diào)性，結(jié)合圖3即可判斷；
④可由奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來(lái)確定正誤；
④可由圖3中圓關(guān)于y軸的對(duì)稱判斷出正誤．

解答： 解：對(duì)于①，因?yàn)楫?dāng)m=

1

4

，此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時(shí)直線AM的方程為y=x+1，即f（

1

4

）=-1，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，當(dāng)x從0→1變化時(shí)，點(diǎn)N從左邊向右邊移動(dòng)，其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值漸漸增大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增，故②正確．
對(duì)于③，由②f（x）在定義域上單調(diào)遞增，則M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，即有直線AM為x=0，即有f（

1

2

）=0，
故③正確；
對(duì)于④，由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)，故④錯(cuò)．
對(duì)于⑤，由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱，故⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)三個(gè)圖象的意義，由此對(duì)五個(gè)命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個(gè)考查理解能力的題，對(duì)題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，方可得出正確答案，本題易因?yàn)槔斫獠涣祟}意而導(dǎo)致無(wú)法下手，題目較抽象．