Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上三個動點P，M，N滿足：$\overrightarrow{OP}$=2λ$\overrightarrow{OM}$+3μ$\overrightarrow{ON}$，其中O為原點，直線0M與0N的斜率之積為-$\frac{9}{4}$，試判斷是否存在兩個定點A，B，使點Q（λ，μ）滿足|QA|+|QB|=1．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，再由向量的坐標(biāo)運算，運用兩邊平方法，化簡整理可得4λ²+9μ²=1，結(jié)合橢圓的定義，即可得到所求定點A，B．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，
且$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{9}{4}$，（*）
由$\overrightarrow{OP}$=2λ$\overrightarrow{OM}$+3μ$\overrightarrow{ON}$，可得
x₀=2λx₁+3μx₂，y₀=2λy₁+3μy₂，
即有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}$=$\frac{4{λ}^{2}{{x}_{1}}^{2}+9{μ}^{2}{{x}_{2}}^{2}+12λμ{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+$\frac{4{λ}^{2}{{y}_{1}}^{2}+9{μ}^{2}{{y}_{2}}^{2}+12λμ{y}_{1}{y}_{2}}{9}$
=4λ²（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$）+9μ²（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$）+12λμ（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{9}$）=1，
將（*）代入上式，可得4λ²+9μ²=1，
可得Q的軌跡為橢圓$\frac{{λ}^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{μ}^{2}}{\frac{1}{9}}$=1．
故存在兩定點A，B，即為橢圓的焦點，且為（-$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}$，0），（$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}$，0），
即（-$\frac{\sqrt{5}}{6}$，0），（$\frac{\sqrt{5}}{6}$，0）使得|QA|+|QB|=2a=1．

點評 本題考查橢圓的定義、方程及運用，注意運用向量的坐標(biāo)表示和點滿足橢圓方程，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．