Question

7．已知點M（1，0）及雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右支上兩動點A，B，當∠AMB最大時，它的余弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，當直線MA、MB分別與雙曲線相切于點A、B時，可得∠AMB取得最大值．建立方程組關系進行求解即可．

解答 解：當直線MA與雙曲線相切于點A，直線MB與雙曲線相切于點B時，
∠AMB取得最大值．
設直線AM方程為y=k（x-1），與雙曲線消去y，
（$\frac{1}{3}$-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直線MA與雙曲線相切于點A，
∴（2k²）²-4×（$\frac{1}{3}$-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍負）
因此，直線AM方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
同理直線BM方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
設直線AM傾斜角為θ，得tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
即為∠AMB最大時的余弦值
故答案為：$\frac{1}{3}$

點評 本題給出雙曲線方程和性質(zhì)，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．