Question

12．已知f（x）=ax⁴-4ax³-$\frac{1}{2}$x²+x（x＞0，a＞1），有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，證明：4＜x₁+x₂＜a+4．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax³-4ax²-$\frac{1}{2}x$+1，則x₁，x₂為g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)的存在性定理可知g（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（4，$\frac{9}{2}$）上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，利用不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 證明：f（x）=x（ax³-4ax²-$\frac{1}{2}x$+1），設(shè)g（x）=ax³-4ax²-$\frac{1}{2}x$+1，
則g（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
不妨設(shè)x₁＜x₂，∵g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$（6-7a）＜0，g（4）=-1＜0，
g（$\frac{9}{2}$）=$\frac{1}{8}$（657a-10）＞0．
∴0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，4＜x₂＜$\frac{9}{2}$，
∴4＜x₁+x₂＜5，
∵a＞1，∴a+4＞5，
∴4＜x₁+x₂＜a+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．