Question

2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²-4ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）-1=0．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=3$\sqrt{2}$，求直線的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）由${ρ^2}-4ρcos（θ-\frac{π}{3}）-1=0$，展開為ρ²-4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$-1=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)方程．
（II）將$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}\right.$代入圓的方程得化簡得t²-2tcosα-4=0，利用弦長公式 $|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{cos}^2}α+16}=3\sqrt{2}$，化簡即可得出．

解答 解：（1）由${ρ^2}-4ρcos（θ-\frac{π}{3}）-1=0$，展開為ρ²-4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$-1=0，化為${x}^{2}+{y}^{2}-2x-2\sqrt{3}y$-1=0，
配方得圓C的方程為${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=5$（4分）
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}\right.$代入圓的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=5，（5分）
化簡得t²-2tcosα-4=0，（6分）
設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=2cosα\\{t_1}{t_2}=-4\end{array}\right.$，（7分）
所以$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{cos}^2}α+16}=3\sqrt{2}$，（8分）
所以4cos²α=2，$cosα=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$α=\frac{π}{4}或α=\frac{3π}{4}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．