Question

12．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個頂點都在球O的表面上，E為AB的中點，CE=3，異面直線A₁C₁與CE所成角的余弦值為$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，且四邊形ABB₁A₁為正方形，則球O的直徑為4或$\sqrt{51}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=2x，則AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，由余弦定理可得x²=9+3x²+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，求出x，即可求出球O的直徑．

解答 解：設(shè)AB=2x，則AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴AC=$\sqrt{9+3{x}^{2}}$，
由余弦定理可得x²=9+3x²+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∴x=1或$\sqrt{6}$，
∴AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，球O的直徑為$\sqrt{4+4+8}$=4，
或AB=2$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{3}$，球O的直徑為$\sqrt{24+24+3}$=$\sqrt{51}$．
故答案為：4或$\sqrt{51}$．

點評 本題考查球O的直徑，考查余弦定理，考查學生的計算能力，正確求出AB是關(guān)鍵．