Question

19．某工廠生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的關(guān)系為：$p（t）={p_0}{e^{-kt}}$（式中的e為自然對數(shù)的底，p₀為污染物的初始含量）．過濾1小時后檢測，發(fā)現(xiàn)污染物的含量減少了$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求函數(shù)關(guān)系式p（t）；
（Ⅱ）要使污染物的含量不超過初始值的$\frac{1}{1000}$，至少還需過濾幾小時？（lg2≈0.3）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題設(shè)，求得e^-k，即可得到所求；
（Ⅱ）由 $p（t）={p_0}{（\frac{4}{5}）^t}≤\frac{1}{1000}{p_0}$，化簡整理，取以10為底的對數(shù)，計算即可得到所求最小值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)，得$\frac{4}{5}{p_0}={p_0}{e^{-k}}$，∴${e^{-k}}=\frac{4}{5}$，-------------------------（2分）
所以，$p（t）={p_0}{（\frac{4}{5}）^t}$-------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）由 $p（t）={p_0}{（\frac{4}{5}）^t}≤\frac{1}{1000}{p_0}$，得${（\frac{4}{5}）^t}≤{10^{-3}}$，-------------（6分）
兩邊取10為底對數(shù)，并整理，得t（1-3lg2）≥3，∴t≥30---------------------------------------------11分
因此，至少還需過濾30小時---------------------------------------（12分）

點評 本題考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題．