Question

6．在△ABC中，若A=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，D是AB的中點(diǎn)，則CD=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由B的范圍和平方關(guān)系求出sinB的值，由內(nèi)角和定理的兩角和的正弦公式求出sin∠ACB，在△ABC中正弦定理求出AB，可得AD，在△BCD中由余弦定理求出CD的長(zhǎng)．

解答 解：如圖所示：
∵0＜B＜π，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又A=$\frac{π}{4}$，A+B+∠ACB=π，
∴sin∠ACB=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
在三角形ABC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，
則AB=$\frac{BC•sin∠ACB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=3，
在△BCD中，由余弦定理得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cosB
=9+20-2×$3×2\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=5，
則CD=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，內(nèi)角和定理，以及兩角和的正弦公式，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵．