Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-2x-1（x∈R）．
（I）若f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，且直線l在y軸上的截距為-2，求a的值；
（Ⅱ）求證：對任意實數(shù)a＜0，都有f（x）＞$\frac{{a}^{2}-a+1}{a}$．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，運用兩點斜率公式，計算即可得到a=-1；
（Ⅱ）原不等式即為e^x＞ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$，運用指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的判別式小于0，即可得到證明．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=e^x-ax²-2x-1的導數(shù)為f′（x）=e^x-2ax-2，
可得切線的斜率f′（1）=e-2a-2，又f（1）=e-a-3，
直線l過（0，-2），可得e-a-1=e-2a-2，
解得a=-1：
（Ⅱ）證明：f（x）＞$\frac{{a}^{2}-a+1}{a}$即為
e^x-ax²-2x-1＞a+$\frac{1}{a}$-1，即有e^x＞ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$，
由e^x＞0，y=ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$，a＜0，
△=4-4a（a+$\frac{1}{a}$）=4-4a²-4=-4a²＜0，
即有y＜0恒成立，
則e^x＞ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$成立．
故原不等式成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查不等式的證明，注意運用轉(zhuǎn)化思想，運用指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．