Question

1．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，且正實數(shù)λ，μ滿足（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$λ\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$μ\overrightarrow$）=0，則|$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），利用（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$λ\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$μ\overrightarrow$）=0求出λ與μ的關(guān)系，再求|$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow$|的取值范圍即可．

解答 解：單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
可設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$λ\overrightarrow{a}$=（1-λ，1），
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$μ\overrightarrow$=（1，1-μ），
又（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$λ\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$μ\overrightarrow$）=0，
∴（1-λ）+（1-μ）=0，
∴λ+μ=2，且λ∈（0，2），
∴$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow$=（λ，-μ），
∴|$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow$|=$\sqrt{{λ}^{2}{+μ}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}{+（2-λ）}^{2}}$=$\sqrt{{2λ}^{2}-4λ+4}$=$\sqrt{{2（λ-1）}^{2}+2}$，
又λ=1時，$\sqrt{{2（λ-1）}^{2}+2}$有最小值$\sqrt{2}$，且$\sqrt{{2（λ-1）}^{2}+2}$＜2；
∴|λ$\overrightarrow{a}$-μ$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$，2）．
故答案為：[$\sqrt{2}$，2）．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運算問題，也考查了向量的模長與函數(shù)的求值范圍問題，是綜合性題目．