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已知數列{an}的前n項和Sn,滿足an+Sn=2n(n∈N*),記bn=2-an
(1)求證:數列{bn}是等比數列,并求數列{bn}的前n項和Bn;
(2)求b1(Bn-b1)+b2(Bn-b2)+bn-1(Bn-bn-1)(n≥2)的值.
考點:數列的求和,等比關系的確定
專題:等差數列與等比數列
分析:(1)an+Sn=2n⇒an-1+Sn-1=2(n-1)(n≥2);兩式相減后,整理可得2(an-2)=(an-1-2),又bn=2-an,利用等比數列的定義可證數列{bn}是等比數列,繼而可求數列{bn}的前n項和Bn;
(2)依題意,可得原式=Bn(b1+b2+b3+…bn-1)-(b12+b22+…+bn-12),利用等比數列的求和公式即可得到答案.
解答: (1)證明:∵an+Sn=2n(n∈N*),
∴an-1+Sn-1=2(n-1)(n≥2);
上兩式相減;
得2an-an-1=2,
則2(an-2)=(an-1-2),又bn=2-an
∴-2bn=-bn-1,即
bn
bn-1
=
1
2
(n≥2);
∴數列{bn}是等比數列;
又S1=a1,得2a1=2×1=2,∴a1=1;
∴b1=2-a1=1,
∴bn=(
1
2
n-1
∴數列{bn}的前n項和Bn=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=2-(
1
2
n-1;
(2)∵Bn=2-(
1
2
n-1,bn-1=(
1
2
n-2,
∴原式=Bn(b1+b2+b3+…bn-1)-(b12+b22+…+bn-12
=[2-(
1
2
n-1][2-(
1
2
n-2]-
1-(
1
4
)
n-1
1-
1
4

=
8
3
-3×(
1
2
n-2-
1
3
×(
1
2
)2n-3
點評:本題考查等比關系的確定及數列的求和,求得列{bn}的通項公式是基礎,(2)中原式=Bn(b1+b2+b3+…bn-1)-(b12+b22+…+bn-12)是關鍵,考化歸思想與運算能力,屬于難題.
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1
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化簡:
a
1
2
-b
1
2
a
1
2
+b
1
2
-
a
1
2
+b
1
2
a
1
2
-b
1
2

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