Question

12．若拋物線y=x²-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且CA⊥CB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)拋物線y=x²-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上，利用曲線與方程的對應關系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)，即可得到圓的方程；
（2）利用△CAB為等腰直角形，則點C到直線距離為$\frac{{\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}$，通過解方程確定出a的值．

解答 解：（1）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得x²+Dx+F=0；
y=x²-6x+5中，令y=0得x²-6x+5=0．
由題意得，D=-6，F(xiàn)=5．
又拋物線過點（0，5），代入圓方程得E=-6，
所以圓C的方程為x²+y²-6x-6y+5=0；
（2）由題意知，圓心坐標為（3，3），半徑為$\sqrt{13}$，
△CAB為等腰直角形，則點C到直線距離為$\frac{{\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}$，即$\frac{|a|}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}$，
解得$a=±\sqrt{13}$．

點評 本題考查圓的方程的求解，考查學生的待定系數(shù)法，考查學生的方程思想，直線與圓的相交問題的解決方法，考查垂直問題的解決思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．